Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos (x)} d x$

Bước 1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (x)$ thành $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{3 + 2 (\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

Bước 2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 (- \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

Bước 3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức pytago để chuyển đổi $3$ thành $3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $2 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ khỏi $3 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\sin (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Bước 5.2

Cộng $3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ và $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 6

Nhân đối số với $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 7.2

Nhân ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ với $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $\sec (\frac{x}{2})$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 8.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 8.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Đưa $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ ra ngoài $5 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 8.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 8.4.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 8.5

Viết lại $\sec (\frac{x}{2})$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Bước 8.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 8.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 8.8

Kết hợp $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ và $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 9

Quy đổi từ $\frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ sang $\tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 10

Giả sử $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 10.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot 2 d u_{1}$

Bước 11.3

Kết hợp $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})}$ và $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Bước 11.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Bước 12

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Bước 13

Giả sử $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Hãy đặt $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Tính đạo hàm $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Bước 13.1.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Bước 13.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{5 + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 14

Viết lại $5$ ở dạng ${\sqrt{5}}^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 15

Tích phân của $\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C)$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{5}}$ và $\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})$ .

$2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

Bước 16.2

Viết lại $2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$ ở dạng $2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$ .

$2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Bước 16.3

Kết hợp $2$ và $\frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Bước 17

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\tan (u_{1})$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (u_{1}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Bước 17.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Nhân $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + C$

Bước 18.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Nhân $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + C$

Bước 18.2.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + C$

Bước 18.2.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + C$

Bước 18.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + C$

Bước 18.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + C$

Bước 18.2.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Bước 18.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Bước 18.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

Bước 18.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

Bước 18.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{1}} + C$

Bước 18.2.6.5

Tính số mũ.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5} + C$

Bước 18.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} \tan (\frac{1}{2} x)) + C$