Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{x} \cdot \ln (\frac{1}{x}) d x$

Bước 1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\int \frac{\ln (\frac{1}{x})}{x} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Sau đó $d u_{2} = - \frac{1}{x} d x$ , nên $- d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{x}$ .

$1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Nhân $x$ với $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.1.4.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 2.1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

Bước 2.1.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

Bước 2.1.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- x^{1 - 2}$

Bước 2.1.8

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- x^{- 1}$

Bước 2.1.9

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 5

Viết lại $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (\frac{1}{x})$ .

$- \frac{1}{2} \ln^{2} (\frac{1}{x}) + C$