Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Bước 1

Tách phân số $\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$ thành hai phân số.

$\int \frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Bước 2.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Bước 2.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $\tan^{2} (x)$ và $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa $\tan (x)$ ra ngoài $\tan^{2} (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)} d x$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân với $1$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Bước 2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x)}{1} d x$

Bước 2.4.2.4

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\int \cot (x) + \tan (x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \cot (x) d x + \int \tan (x) d x$

Bước 4

Tích phân của $\cot (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \int \tan (x) d x$

Bước 5

Tích phân của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \ln (| \sec (x) |) + C$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

$\ln (| \sin (x) |) + \ln (| \sec (x) |) + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \sin (x) | | \sec (x) |) + C$

Bước 6.2.2

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| \sin (x) \sec (x) |) + C$