Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{t} - e^{- 3 t} - \cos (t) d t$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{t} d t + \int - e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Bước 2

Tích phân của $\frac{1}{t}$ đối với $t$ là $\ln (| t |)$ .

$\ln (| t |) + C + \int - e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| t |) + C - \int e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Bước 4

Giả sử $u = - 3 t$ . Sau đó $d u = - 3 d t$ , nên $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - 3 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Bước 4.1.2

Vì $- 3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 3 t$ đối với $t$ là $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| t |) + C - \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int - \cos (t) d t$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (| t |) + C - \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int - \cos (t) d t$

Bước 5.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| t |) + C - \int - \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| t |) + C - - \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\ln (| t |) + C + 1 \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Bước 7.2

Nhân $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ với $1$ .

$\ln (| t |) + C + \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Bước 8

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \cos (t) d t$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int - \cos (t) d t$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) - \int \cos (t) d t$

Bước 11

Tích phân của $\cos (t)$ đối với $t$ là $\sin (t)$ .

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) - (\sin (t) + C)$

Bước 12

Rút gọn.

$\ln (| t |) + \frac{1}{3} e^{u} - \sin (t) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 3 t$ .

$\ln (| t |) + \frac{1}{3} e^{- 3 t} - \sin (t) + C$