Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân với $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \cdot 1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Bước 1.2

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Bước 1.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ sang $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 1.4

Nhân $\sqrt[9]{8 + \tan (t)}$ với $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 1.5

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}}$ và $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Bước 2

Giả sử $u = 8 + \tan (t)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (t) d t$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 8 + \tan (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $8 + \tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [8 + \tan (t)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 + \tan (t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Bước 2.1.2.2

Vì $8$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $8$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Bước 2.1.3

Đạo hàm của $\tan (t)$ đối với $t$ là $\sec^{2} (t)$ .

$0 + \sec^{2} (t)$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{u}} d u$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[9]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{9}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{9}}} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{9}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1} d u$

Bước 3.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{9} \cdot - 1} d u$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{9}} d u$

Bước 3.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int u^{- \frac{1}{9}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{9}}$ đối với $u$ là $\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}}$ .

$\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}} + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 + \tan (t)$ .

$\frac{9}{8} {(8 + \tan (t))}^{\frac{8}{9}} + C$