Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 9}} d t$

Bước 1

Giả sử $t = 3 \sec (t_{1})$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d t = 3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , nên $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ dương.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sec (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9 \sec^{2} (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1})) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t_{1})}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.6

Viết lại $9 \tan^{2} (t_{1})$ ở dạng ${(3 \tan (t_{1}))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t_{1}))}^{2}}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 \tan (t_{1})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $3 \tan (t_{1})$ ra ngoài ${(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.2.1.2

Đưa $3 \tan (t_{1})$ ra ngoài $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

Bước 2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) {(3 \sec (t_{1}))}^{3}} (3 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.2.1.4

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Bước 2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}}$ và $\sec (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sec (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

Bước 2.2.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (\sec (t_{1}))$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{3^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 2.2.3.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 2.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec (t_{1})$ và $\sec^{3} (t_{1})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.4.1

Nhân với $1$ .

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 2.2.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.4.2.1

Đưa $\sec (t_{1})$ ra ngoài $27 \sec^{3} (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Bước 2.2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Bước 2.2.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{27 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{27}$ không đổi đối với $t_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{27}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{27} \int \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 4.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

Bước 4.3

Viết lại $\sec (t_{1})$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

Bước 4.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ .

$\frac{1}{27} \int {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

Bước 4.5

Nhân $\cos (t_{1})$ với $1$ .

$\frac{1}{27} \int \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 5

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t_{1})$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{27} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 27} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $27$ .

$\frac{1}{54} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{54} (\int d t_{1} + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Bước 10

Giả sử $u = 2 t_{1}$ . Sau đó $d u = 2 d t_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = 2 t_{1}$ . Tìm $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t_{1}$ , nên đạo hàm của $2 t_{1}$ đối với $t_{1}$ là $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ là $n {t_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 11

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 13

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 14

Rút gọn.

$\frac{1}{54} (t_{1} + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t_{1}$ với $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t_{1}$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t_{1})) + C$

Bước 15.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t_{1}$ với $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))) + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}) + C$

Bước 16.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

Bước 16.3

Kết hợp $\frac{1}{54}$ và $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

Bước 16.4

Nhân $\frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Nhân $\frac{1}{54}$ với $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{54 \cdot 2} + C$

Bước 16.4.2

Nhân $54$ với $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{108} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{108} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} t)) + C$