Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.1.5

Tính số mũ.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2

Kết hợp $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\sqrt{3} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{1} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4.5

Tính số mũ.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 (- 1) \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 \cdot - 1 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 (3 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.6

Sắp xếp lại $3$ và $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{3} \cdot 2} d t$

Bước 2.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (t) \sqrt{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cdot (\cos (t) \sqrt{3})} d t$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cos (t) \sqrt{3}} d t$

Bước 2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

Bước 2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{2} d t$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} t + C$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}}) + C$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2}{\sqrt{3}} x) + C$