Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2}$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.1.5

Tính số mũ.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3.6.5

Tính số mũ.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{6}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5

Kết hợp $\frac{\sqrt{6}}{2}$ và $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{6} \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.6.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6} \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{{(\sqrt{6} \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\sqrt{6} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{{\sqrt{6}}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.7

Viết lại ${\sqrt{6}}^{2}$ ở dạng $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6}$ ở dạng $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{1} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.7.5

Tính số mũ.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 2 (- 1) \frac{6 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.9.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \cdot - 1 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2 \cdot 2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.9.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \cdot - 1 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2 \cdot 2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.9.4

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.10

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{2 (3 \sin^{2} (t))}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{2 (3 \sin^{2} (t))}{2 (1)}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{2 (3 \sin^{2} (t))}{2 \cdot 1}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{3 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.10.2.4

Chia $3 \sin^{2} (t)$ cho $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 (3 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.11

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.6

Sắp xếp lại $3$ và $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{3} \cdot 2} d t$

Bước 2.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (t) \sqrt{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2 \cdot (\cos (t) \sqrt{3})} d t$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2 \cos (t) \sqrt{3}} d t$

Bước 2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} d t$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} t + C$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} t + C$ ở dạng $\frac{\sqrt{\frac{6}{3}}}{2} t + C$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6}{3}}}{2} t + C$

Bước 4.2

Chia $6$ cho $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} t + C$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{3}}) + C$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} x) + C$