Giải tích Ví dụ

$\int \frac{t^{3} + \sqrt[3]{t}}{t^{2}} d t$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{t^{3} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Bước 1.1.2

Đưa $t^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài $t^{3} + t^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Đưa $t^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài $t^{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Bước 1.1.2.2

Nhân với $1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Bước 1.1.2.3

Đưa $t^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài $t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} (t^{\frac{8}{3}} + 1)}{t^{2}} d t$

Bước 1.2

Di chuyển $t^{\frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2} t^{- \frac{1}{3}}} d t$

Bước 1.3

Nhân $t^{2}$ với $t^{- \frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 - \frac{1}{3}}} d t$

Bước 1.3.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Bước 1.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Bước 1.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}} d t$

Bước 1.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{6 - 1}{3}}} d t$

Bước 1.3.5.2

Trừ $1$ khỏi $6$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{5}{3}}} d t$

Bước 2

Di chuyển $t^{\frac{5}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) {(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d t$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d t$

Bước 3.2

Nhân $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d t$

Bước 3.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{- 5}{3}} d t$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{- \frac{5}{3}} d t$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int t^{\frac{8}{3}} t^{- \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Bước 4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int t^{\frac{8}{3} - \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Bước 4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int t^{\frac{8 - 5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Bước 4.4

Trừ $5$ khỏi $8$ .

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Bước 4.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Bước 4.5.2

Viết lại biểu thức.

$\int t^{1} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Bước 4.6

Rút gọn.

$\int t + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Bước 4.7

Nhân $t^{- \frac{5}{3}}$ với $1$ .

$\int t + t^{- \frac{5}{3}} d t$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int t d t + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{- \frac{5}{3}}$ đối với $t$ là $- \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$

Bước 8

Rút gọn.

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$