Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 1

Chia $x^{3} + 1$ cho $x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Bước 1.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Bước 1.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

Bước 1.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + 0 - x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

Bước 1.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

Bước 1.6

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

$1$

Bước 1.7

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int x + \frac{x + 1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x d x + \int \frac{x + 1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x + 1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 4

Tách phân số $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ thành hai phân số.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 6

Giả sử $u_{1} = x^{2} - 1$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2} - 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 6.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 6.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{u_{1}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 7.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 10

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Phân tích phân số thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Bước 10.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 10.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Bước 10.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Bước 10.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 10.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 10.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 10.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 10.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 10.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 10.1.7.1.2

Chia $(A) (x - 1)$ cho $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 10.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 10.1.7.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 10.1.7.4

Viết lại $- 1 A$ ở dạng $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 10.1.7.5

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.7.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 10.1.7.5.2

Chia $(B) (x + 1)$ cho $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Bước 10.1.7.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Bước 10.1.7.7

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Bước 10.1.8

Di chuyển $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Bước 10.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = A + B$

Bước 10.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = - 1 A + B$

Bước 10.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Bước 10.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Giải tìm $A$ trong $0 = A + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Bước 10.3.1.2

Trừ $B$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Bước 10.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $- B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $1 = - 1 A + B$ bằng $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Bước 10.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Rút gọn $- 1 (- B) + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1.1

Nhân $- 1 (- B)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Bước 10.3.2.2.1.1.2

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Bước 10.3.2.2.1.2

Cộng $B$ và $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Bước 10.3.3

Giải tìm $B$ trong $1 = 2 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Bước 10.3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 10.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 10.3.3.2.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 10.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $\frac{1}{2}$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $A = - B$ bằng $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 10.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 10.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Bước 10.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 10.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 10.5.2

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 10.5.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 10.5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Bước 10.5.5

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 11

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 14

Giả sử $u_{2} = x + 1$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Hãy đặt $u_{2} = x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 14.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 14.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 14.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 14.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 14.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 15

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 16

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Bước 17

Giả sử $u_{3} = x - 1$ . Sau đó $d u_{3} = d x$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Hãy đặt $u_{3} = x - 1$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 17.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 17.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 17.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 17.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 17.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Bước 18

Tích phân của $\frac{1}{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{3} |) + C)$

Bước 19

Rút gọn.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Bước 20

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Bước 20.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Bước 20.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $x - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$