Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{3} + \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} + x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{x^{3} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x^{3} + x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Bước 2.1.2

Nhân với $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Bước 2.1.3

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Bước 2.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3

Nhân $x^{\frac{2}{3}}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.2

Để viết $\frac{2}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.3

Để viết $- \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Bước 2.3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Bước 2.3.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

Bước 2.3.4.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}}} d x$

Bước 2.3.4.4

Nhân $2$ với $3$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}}} d x$

Bước 2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}}} d x$

Bước 2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{4 - 3}{6}}} d x$

Bước 2.3.6.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{6}}} d x$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{6}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1} d x$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{\frac{1}{6} \cdot - 1} d x$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $- 1$ .

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{6}} d x$

Bước 3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{\frac{5}{2} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.3

Để viết $\frac{5}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $\frac{5}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int x^{\frac{5 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{5 \cdot 3 - 1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $5$ với $3$ .

$\int x^{\frac{15 - 1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.6.2

Trừ $1$ khỏi $15$ .

$\int x^{\frac{14}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.7

Triệt tiêu thừa số chung của $14$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$\int x^{\frac{2 (7)}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int x^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int x^{\frac{7}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 4.8

Nhân $x^{- \frac{1}{6}}$ với $1$ .

$\int x^{\frac{7}{3}} + x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{\frac{7}{3}} d x + \int x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{7}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}}$ .

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C + \int x^{- \frac{1}{6}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{6}}$ đối với $x$ là $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + C$

Bước 8

Rút gọn.

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + C$