Giải tích Ví dụ

$\int \frac{6}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x} - 6 e^{- 2 x} + 9 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{6}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Bước 2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Bước 3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Bước 7

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Bước 9

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Bước 10

Giả sử $u = - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 10.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 9 d x$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 9 d x$

Bước 11.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 9 d x$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u) + \int 9 d x$

Bước 13

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 9 d x$

Bước 14

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 9 d x$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{6}{2} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Bước 15.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Bước 15.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Bước 15.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Bước 15.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{1} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Bước 15.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Bước 16

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 (e^{u} + C) + \int 9 d x$

Bước 17

Áp dụng quy tắc hằng số.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 (e^{u} + C) + 9 x + C$

Bước 18

Rút gọn.

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 e^{u} + 9 x + C$

Bước 19

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 x$ .

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 e^{- 2 x} + 9 x + C$

Bước 20

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{- 2 x} + 9 x + C$