Giải tích Ví dụ

$\int \frac{6 x + 12}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 1}} d x$

Bước 1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x + 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x$ .

$\int \frac{6 (x) + 12}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 1}} d x$

Bước 1.2

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$\int \frac{6 x + 6 \cdot 2}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 1}} d x$

Bước 1.3

Đưa $6$ ra ngoài $6 x + 6 \cdot 2$ .

$\int \frac{6 (x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 1}} d x$

Bước 2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 1}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = x^{2} + 4 x - 1$ . Sau đó $d u = (2 x + 4) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = (x + 2) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 4 x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 1]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 4 + 0$

Bước 3.1.4.2

Cộng $2 x + 4$ và $0$ .

$2 x + 4$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$6 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\frac{6}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 6.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$3 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 6.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 6.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$3 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 6.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2

Nhân $3$ với $2$ .

$6 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 4 x - 1$ .

$6 {(x^{2} + 4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + C$