Giải tích Ví dụ

$\int 2^{\frac{- x}{2}} d x$

Bước 1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int 2^{- \frac{x}{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = - \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = - \frac{1}{2} d x$ , nên $- 2 d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = - \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Bước 2.1.2

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x}{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 3.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot (1 \cdot 2) d u_{1}$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot 2 d u_{1}$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int - 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 3.5

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int - (2 \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 3.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\int - (2^{1} \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int - 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 5.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 5.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 6

Tích phân của $2^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Bước 7

Viết lại $- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Bước 8

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + u_{1}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + u_{1}} + C$

Bước 8.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- \frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 - \frac{x}{2}} + C$

Bước 9

Kết hợp $2^{1 - \frac{x}{2}}$ và $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- \frac{2^{1 - \frac{x}{2}}}{\ln (2)} + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 - \frac{1}{2} x} + C$