Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2}{\sqrt{7 - 6 x - x^{2}}} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{7 - 6 x - x^{2}}} d x$

Bước 2

Viết lại $7$ ở dạng $16$ cộng $- 9$

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 9 - 6 x - x^{2}}} d x$

Bước 3

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - (3^{2} + 6 x + x^{2})}} d x$

Bước 3.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$6 x = 2 \cdot 3 \cdot x$

Bước 3.3

Viết lại đa thức này.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - (3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x + x^{2})}} d x$

Bước 3.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = 3$ và $b = x$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{16 - {(3 + x)}^{2}}} d x$

Bước 4

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - {(3 + x)}^{2}}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 3 + x$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 3 + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $3 + x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 5.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ đối với $u$ là $\arcsin (\frac{u}{4})$

$2 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Bước 7

Viết lại $2 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ ở dạng $2 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$2 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 + x$ .

$2 \arcsin (\frac{1}{4} (3 + x)) + C$