Giải tích Ví dụ

$\int \frac{3}{2} \cdot (x e^{- 6 x}) d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{x \cdot 3}{2} \cdot e^{- 6 x} d x$

Bước 1.2

Kết hợp $\frac{x \cdot 3}{2}$ và $e^{- 6 x}$ .

$\int \frac{x \cdot 3 e^{- 6 x}}{2} d x$

Bước 1.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\int \frac{3 x e^{- 6 x}}{2} d x$

Bước 2

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} \int x e^{- 6 x} d x$

Bước 3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- 6 x}$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{1}{6} e^{- 6 x}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $e^{- 6 x}$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{e^{- 6 x}}{6}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Bước 4.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{- 6 x}}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Bước 4.3

Kết hợp $e^{- 6 x}$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - - \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + 1 \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Bước 6.2

Nhân $\int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x$ với $1$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{- 6 x} d x)$

Bước 8

Giả sử $u = - 6 x$ . Sau đó $d u = - 6 d x$ , nên $- \frac{1}{6} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = - 6 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

Bước 8.1.2

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $- 6$ với $1$ .

$- 6$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{- 6} d u)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} (- \frac{1}{6}) d u)$

Bước 9.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int - \frac{e^{u}}{6} d u)$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- \int \frac{e^{u}}{6} d u))$

Bước 11

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- (\frac{1}{6} \int e^{u} d u)))$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $\frac{1}{6}$ với $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Bước 12.2

Nhân $6$ với $6$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Bước 13

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Viết lại $\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ ở dạng $\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Bước 14.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x}{6} e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Bước 14.2.2

Kết hợp $e^{- 6 x}$ và $\frac{x}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Bước 14.2.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{36}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{u}}{36}) + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 6 x$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6}) + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Bước 16.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{- 6 x} x}{6}$ vào tử số.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{6} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Bước 16.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 (2)} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Bước 16.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Bước 16.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Bước 16.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{- e^{- 6 x} x}{2}$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Bước 16.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Bước 16.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{- 6 x}}{36}$ vào tử số.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{36} + C$

Bước 16.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 (12)} + C$

Bước 16.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 \cdot 12} + C$

Bước 16.5.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{12} + C$

Bước 16.6

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{- e^{- 6 x}}{12}$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{2 \cdot 12} + C$

Bước 16.7

Nhân $2$ với $12$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

Bước 16.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

Bước 16.8.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

Bước 16.9

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24}$ .

$- \frac{x e^{- 6 x}}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{4} x e^{- 6 x} - \frac{1}{24} e^{- 6 x} + C$