Giải tích Ví dụ

$\int \frac{3 x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Bước 2

Giả sử $x = 5 \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $5 \sec (t) \tan (t)$ dương.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sec (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.2

Đưa $25$ ra ngoài $25 \sec^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.3

Đưa $25$ ra ngoài $- 25$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.4

Đưa $25$ ra ngoài $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.6

Viết lại $25 \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5 \tan (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $5 \tan (t)$ ra ngoài $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Bước 3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$3 \int {(5 \sec (t))}^{3} \sec (t) d t$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 \sec (t)$ .

$3 \int {(5 (\sec (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Bước 3.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 (\sec (t))$ .

$3 \int 5^{3} \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Bước 3.2.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$3 \int 125 \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Bước 3.2.2.4

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \int 125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) d t$

Bước 3.2.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \int 125 {\sec (t)}^{1 + 3} d t$

Bước 3.2.2.6

Cộng $1$ và $3$ .

$3 \int 125 \sec^{4} (t) d t$

Bước 4

Vì $125$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $125$ ra khỏi tích phân.

$3 (125 \int \sec^{4} (t) d t)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $125$ với $3$ .

$375 \int \sec^{4} (t) d t$

Bước 5.2

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$375 \int {\sec (t)}^{2 + 2} d t$

Bước 5.3

Viết lại ${\sec (t)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$375 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) d t$

Bước 6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (t)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (t)$ .

$375 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) d t$

Bước 7

Giả sử $u = \tan (t)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (t) d t$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = \tan (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Bước 7.1.2

Đạo hàm của $\tan (t)$ đối với $t$ là $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$375 \int 1 + u^{2} d u$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$375 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$375 (u + C + \int u^{2} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Bước 11.2

Rút gọn.

$375 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Bước 12

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (t)$ .

$375 (\tan (t) + \frac{1}{3} \tan^{3} (t)) + C$

Bước 12.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$375 (\tan (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $arcsec (\frac{x}{5})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Do đó, $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ là $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{x}{5}$ và $b = 1$ .

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.9

Nhân $- 1$ với $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.10

Nhân $\frac{x + 5}{5}$ với $\frac{x - 5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.11

Nhân $5$ với $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.12

Viết lại $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ ở dạng ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.12.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $(x + 5) (x - 5)$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.12.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $5^{2}$ ra ngoài $25$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.12.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.13

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$375 (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.1.14

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Bước 13.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3}) + C$

Bước 13.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$375 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Bước 13.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $375$ .

$5 (75) \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Bước 13.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \cdot 75 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Bước 13.4.3

Viết lại biểu thức.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Bước 13.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $375$ .

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 (125) \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Bước 13.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 \cdot 125 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Bước 13.5.3

Viết lại biểu thức.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$