Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{- 2} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $- u^{- 1}$ tại $1$ và tại $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1^{- 1}) + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 1 \cdot 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Bước 4.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Bước 4.2.3

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}}$

Bước 5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 5.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 5.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 5.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 5.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 5.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 5.2.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 5.2.6.5

Tính số mũ.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 5.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$- 1 + \sqrt{2}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 1 + \sqrt{2}$

Dạng thập phân:

$0.41421356 \dots$