Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) - \cos (x) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Bước 2

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \cos (x) d x$

Bước 4

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính $- \cos (x)$ tại $\frac{5 π}{4}$ và tại $\frac{π}{4}$ .

$(- \cos (\frac{5 π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Bước 5.1.2

Tính $\sin (x)$ tại $\frac{5 π}{4}$ và tại $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Bước 5.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$- - \cos (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.3.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.3.3

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.3.3.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \sin (\frac{π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.3.4.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 5.3.6

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 5.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 5.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 5.3.7.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Bước 5.3.8

Nhân $- - \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Bước 5.3.8.2

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Bước 5.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Bước 5.3.10

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Bước 5.3.11

Để viết $\sqrt{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 5.3.12

Kết hợp $\sqrt{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Bước 5.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Bước 5.3.14

Sắp xếp lại các thừa số của $\sqrt{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 5.3.15

Cộng $2 \sqrt{2}$ và $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Bước 6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Bước 6.2.4

Chia $2 \sqrt{2}$ cho $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 \sqrt{2}$

Dạng thập phân:

$2.82842712 \dots$