Giải tích Ví dụ

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 2 \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = \sec (x)$ . Sau đó $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

Bước 2.3.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

Bước 2.3.3

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Bước 2.3.4

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 2.3.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 2.3.5.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 2.3.5.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 2.3.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 2.3.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 2.3.5.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.3.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.3.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.3.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.3.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 2.3.5.6.5

Tính số mũ.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.3.6.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Bước 2.5.2

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 2.5.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 2.5.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 2.5.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 2.5.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 2.5.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 2.5.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.5.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.5.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.5.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.5.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 2.5.3.6.5

Tính số mũ.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.5.4.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} u d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{u^{2}}{2}$ tại $\sqrt{2}$ và tại $\sqrt{2}$ .

$2 ((\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Bước 5.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Bước 5.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Bước 5.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Bước 5.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{2^{1}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Bước 5.2.1.5

Tính số mũ.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Bước 5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 (1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Bước 5.2.3

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Bước 5.2.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Bước 5.2.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 (1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Bước 5.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Bước 5.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 (1 - \frac{2^{1}}{2})$

Bước 5.2.3.5

Tính số mũ.

$2 (1 - \frac{2}{2})$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (1 - \frac{2}{2})$

Bước 5.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 (1 - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (1 - 1)$

Bước 5.2.6

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$2 \cdot 0$

Bước 5.2.7

Nhân $2$ với $0$ .

$0$