Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = \sin (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 2.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Bước 2.1.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Bước 2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 2.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Bước 2.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Bước 2.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Bước 2.5.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 2.5.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 3

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Bước 5.3

Nhân $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$ với $1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ tại $1$ và tại $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Bước 7.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Bước 8.1.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Bước 8.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Bước 8.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 8.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 8.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{1}}{2^{2}}$

Bước 8.1.2.5

Tính số mũ.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{2}}$

Bước 8.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$

Bước 8.1.4

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.1

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{4 \cdot 2}$

Bước 8.1.4.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{8}$

Bước 8.2

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{8}$

Bước 8.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{2 \cdot 4} - \frac{3}{8}$

Bước 8.3.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{4}{8} - \frac{3}{8}$

Bước 8.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 - 3}{8}$

Bước 8.5

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{1}{8}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{8}$

Dạng thập phân:

$0.125$