Giải tích Ví dụ

$\int \sec^{4} (x) \tan^{3} (x) d x$

Bước 1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} \tan^{3} (x) d x$

Bước 1.2

Viết lại ${\sec (x)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) d x$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (x)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) d x$

Bước 3

Giả sử $u = \tan (x)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{3} d u$

Bước 4

Khai triển $(1 + u^{2}) u^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 u^{3} + u^{2} u^{3} d u$

Bước 4.2

Nhân $u^{3}$ với $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} u^{3} d u$

Bước 4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{3} + u^{2 + 3} d u$

Bước 4.4

Cộng $2$ và $3$ .

$\int u^{3} + u^{5} d u$

Bước 4.5

Sắp xếp lại $u^{3}$ và $u^{5}$ .

$\int u^{5} + u^{3} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int u^{3} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 8

Rút gọn.

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$\frac{1}{6} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$