Giải tích Ví dụ

$\int \tan^{7} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\tan^{6} (x)$ ra ngoài.

$\int \tan^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (3)} \tan (x) d x$

Bước 2.2

Viết lại ${\tan (x)}^{2 (3)}$ dưới dạng số mũ.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Bước 4

Sử dụng định lý nhị thức.

$\int ({(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} + {(\sec^{2} (x))}^{3}) \tan (x) d x$

Bước 5

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int {(- 1)}^{3} \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\int - 1 \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Bước 5.2.2

Viết lại $- 1 \tan (x)$ ở dạng $- \tan (x)$ .

$\int - \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Bước 5.2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\int - \tan (x) + 3 \cdot 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Bước 5.2.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Bước 5.2.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Bước 5.2.6

Nhân các số mũ trong ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Bước 5.2.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Bước 5.2.7

Nhân các số mũ trong ${(\sec^{2} (x))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 3} \tan (x) d x$

Bước 5.2.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - \tan (x) d x + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \tan (x) d x + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 8

Tích phân của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 9

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 10

Giả sử $u_{1} = \sec (x)$ . Sau đó $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{1} = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 10.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 \int u_{1} d u_{1} + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 12

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 13

Giả sử $u_{2} = \sec (x)$ . Sau đó $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Hãy đặt $u_{2} = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 13.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 13.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 \int {u_{2}}^{3} d u_{2} + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{3}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 15

Giả sử $u_{3} = \sec (x)$ . Sau đó $d u_{3} = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{3} = d x$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Hãy đặt $u_{3} = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 15.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 15.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \int {u_{3}}^{5} d u_{3}$

Bước 16

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{3}}^{5}$ đối với $u_{3}$ là $\frac{1}{6} {u_{3}}^{6}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{1}}^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Bước 17.1.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và ${u_{2}}^{4}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{{u_{2}}^{4}}{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Bước 17.2

Rút gọn.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 {u_{1}}^{2}}{2} - \frac{3 {u_{2}}^{4}}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Bước 18

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 {u_{2}}^{4}}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Bước 18.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 \sec^{4} (x)}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Bước 18.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 \sec^{4} (x)}{4} + \frac{1}{6} \sec^{6} (x) + C$

Bước 19

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3}{2} \sec^{2} (x) - \frac{3}{4} \sec^{4} (x) + \frac{1}{6} \sec^{6} (x) + C$