Giải tích Ví dụ

$\int t e^{- s t} d t$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{- s t}$ .

$t (- \frac{e^{- s t}}{s}) - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Bước 2

Kết hợp $t$ và $\frac{e^{- s t}}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - - \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + 1 \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Bước 4.2

Nhân $\int \frac{e^{- s t}}{s} d t$ với $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Bước 5

Vì $\frac{1}{s}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{s}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int e^{- s t} d t$

Bước 6

Giả sử $u = - s t$ . Sau đó $d u = - s d t$ , nên $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = - s t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Bước 6.1.2

Vì $- s$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- s t$ đối với $t$ là $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- s$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{s}$ và $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - \frac{e^{u}}{s} d u$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- \int \frac{e^{u}}{s} d u)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{s}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{s}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- (\frac{1}{s} \int e^{u} d u))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{s}$ với $\frac{1}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s \cdot s} \int e^{u} d u$

Bước 10.2

Nâng $s$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s} \int e^{u} d u$

Bước 10.3

Nâng $s$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s^{1}} \int e^{u} d u$

Bước 10.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1 + 1}} \int e^{u} d u$

Bước 10.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} \int e^{u} d u$

Bước 11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$

Bước 12

Viết lại $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$ ở dạng $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- s t$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{- s t}}{s^{2}} + C$