Giải tích Ví dụ

$\int \csc^{4} (3 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 1.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $\csc^{4} (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\csc^{4} (u)}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \csc^{4} (u) d u$

Bước 4

Áp dụng công thức rút gọn.

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

Bước 5

Vì đạo hàm của $- \cot (u)$ là $\csc^{2} (u)$ , tích phân của $\csc^{2} (u)$ là $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

Bước 6

Viết lại $\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ ở dạng $\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3} - \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} (- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3}) + \frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

Bước 8.2

Nhân $\frac{1}{3} (- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3}$ .

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

Bước 8.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3}) + C$

Bước 8.3

Nhân $\frac{1}{3} (- \frac{2 \cot (3 x)}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2 \cot (3 x)}{3}$ .

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{9} - \frac{2 \cot (3 x)}{3 \cdot 3} + C$

Bước 8.3.2

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{\cot (3 x) \csc^{2} (3 x)}{9} - \frac{2 \cot (3 x)}{9} + C$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{9} \cot (3 x) \csc^{2} (3 x) - \frac{2}{9} \cot (3 x) + C$