Giải tích Ví dụ

$\int \csc^{4} (\frac{x}{4}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{x}{4}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{4} d x$ , nên $4 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{4}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{4}$ .

$\int \csc^{4} (u) (1 \cdot 4) d u$

Bước 2.2

Nhân $4$ với $1$ .

$\int \csc^{4} (u) \cdot 4 d u$

Bước 2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\csc^{4} (u)$ .

$\int 4 \csc^{4} (u) d u$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \csc^{4} (u) d u$

Bước 4

Áp dụng công thức rút gọn.

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

Bước 5

Vì đạo hàm của $- \cot (u)$ là $\csc^{2} (u)$ , tích phân của $\csc^{2} (u)$ là $- \cot (u)$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

Bước 6

Viết lại $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ ở dạng $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{4}$ .

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}) + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Bước 8.2

Nhân $4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Bước 8.2.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Bước 8.3

Nhân $4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} - 4 \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Bước 8.3.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 4 (2 \cot (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Bước 8.3.3

Nhân $2$ với $- 4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Bước 8.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Bước 8.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{4}{3} \cot (\frac{1}{4} x) \csc^{2} (\frac{1}{4} x) - \frac{8}{3} \cot (\frac{1}{4} x) + C$