Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2

Viết lại $\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}}$ ở dạng $\frac{\frac{1}{2} \ln (x)}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{\frac{1}{2} \ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

Bước 4

Viết lại $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ ở dạng một tích.

$\frac{1}{2} \int \ln (x) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int x^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x)$

Bước 6.2

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{x} d x)$

Bước 6.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} d x)$

Bước 6.4

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x)$

Bước 6.5

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x)$

Bước 6.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x)$

Bước 6.5.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x)$

Bước 6.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x)$

Bước 6.5.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - (2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x))$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Bước 8.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Bước 8.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Bước 8.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C))$

Bước 10

Viết lại $\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C))$ ở dạng $\frac{1}{2} (2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + C$