Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \csc (x) \cot (x) d x$

Bước 1

Vì đạo hàm của $- \csc (x)$ là $\csc (x) \cot (x)$ , tích phân của $\csc (x) \cot (x)$ là $- \csc (x)$ .

$- \csc (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

Bước 2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính $- \csc (x)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $\frac{π}{3}$ .

$- \csc (\frac{π}{2}) + \csc (\frac{π}{3})$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 1 \cdot 1 + \csc (\frac{π}{3})$

Bước 2.2.2

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{3})$ là $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{2}{\sqrt{3}}$

Bước 2.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{3}}$

Bước 2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 2.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 2.3.2.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 2.3.2.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 2.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 2.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 2.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 2.3.2.6.5

Tính số mũ.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 3

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Dạng thập phân:

$0.15470053 \dots$