Giải tích Ví dụ

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 4 π (1 - \cos (x)) d x$

Bước 1

Vì $4 π$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4 π$ ra khỏi tích phân.

$4 π \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 1 - \cos (x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$4 π (\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x)$

Bước 5

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính $x$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $- \frac{π}{3}$ .

$4 π ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{3} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Bước 6.1.2

Tính $\sin (x)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $- \frac{π}{3}$ .

$4 π (\frac{π}{3} + \frac{π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Bước 6.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 π (\frac{π + π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Bước 6.1.3.2

Cộng $π$ và $π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Bước 6.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})))$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})))$

Bước 6.3.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})))$

Bước 6.3.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Bước 6.3.4

Nhân $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Bước 6.3.4.2

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Bước 6.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2})$

Bước 6.3.6

Cộng $\sqrt{3}$ và $\sqrt{3}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Bước 6.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Bước 6.3.7.2

Chia $\sqrt{3}$ cho $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \sqrt{3})$

Bước 6.3.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 π \frac{2 π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Bước 6.3.9

Nhân $4 π \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.9.1

Kết hợp $\frac{2 π}{3}$ và $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Bước 6.3.9.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{8 π}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Bước 6.3.9.3

Kết hợp $\frac{8 π}{3}$ và $π$ .

$\frac{8 π π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Bước 6.3.9.4

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π)}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Bước 6.3.9.5

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π^{1})}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Bước 6.3.9.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{8 π^{1 + 1}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Bước 6.3.9.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Bước 6.3.10

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$4.55335269 \dots$