Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x + \cos (x) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Bước 3

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ và $\sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

Bước 4.2

Tính $\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

Bước 4.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4.2

Kết hợp.

$\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4.3

Nhân $π^{2}$ với $1$ .

$\frac{π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4.4

Nhân $2$ với $2^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1

Nhân $2$ với $2^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{π^{2}}{2^{1 + 2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4.4.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4.6

Kết hợp.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4.7

Nhân $π^{2}$ với $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4.8

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 9} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4.9

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 4.4.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.4.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{π^{2}}{8} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.4.12

Để viết $\frac{π^{2}}{8}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.4.13

Để viết $- \frac{π^{2}}{18}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.4.14

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $72$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.14.1

Nhân $\frac{π^{2}}{8}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.4.14.2

Nhân $8$ với $9$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.4.14.3

Nhân $\frac{π^{2}}{18}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{18 \cdot 4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.4.14.4

Nhân $18$ với $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.4.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.4.16

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + \frac{72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.4.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.4.18

Để viết $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{36}{36}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{36}{36}$

Bước 4.4.19

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $72$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.19.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $\frac{36}{36}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{2 \cdot 36}$

Bước 4.4.19.2

Nhân $2$ với $36$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Bước 4.4.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Bước 4.4.21

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Bước 4.4.22

Nhân $36$ với $- 1$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Bước 4.4.23

Trừ $4 π^{2}$ khỏi $π^{2} \cdot 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.23.1

Sắp xếp lại $π^{2}$ và $9$ .

$\frac{9 \cdot π^{2} - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Bước 4.4.23.2

Trừ $4 π^{2}$ khỏi $9 \cdot π^{2}$ .

$\frac{5 \cdot π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Dạng thập phân:

$0.81936379 \dots$