Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - \sin (x) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Bước 4

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính $\frac{1}{2} x^{2}$ tại $π$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{1}{2} π^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Bước 5.1.2

Tính $- \cos (x)$ tại $π$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Bước 5.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + 0)$

Bước 5.2.2

Cộng $- \cos (π)$ và $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - - \cos (π)$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 \cos (π)$

Bước 5.2.4

Nhân $\cos (π)$ với $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (π)$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + \cos (π)$

Bước 5.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4} + \cos (π)$

Bước 5.3.3

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $\frac{π^{2}}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2} + \cos (π)$

Bước 5.3.3.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Bước 5.3.4

Để viết $\frac{π^{2}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Bước 5.3.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Nhân $\frac{π^{2}}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Bước 5.3.5.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Bước 5.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Bước 5.3.7

Trừ $π^{2}$ khỏi $π^{2} \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Sắp xếp lại $π^{2}$ và $4$ .

$\frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Bước 5.3.7.2

Trừ $π^{2}$ khỏi $4 \cdot π^{2}$ .

$\frac{3 \cdot π^{2}}{8} + \cos (π)$

$\frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{3 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Bước 6.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Bước 6.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Dạng thập phân:

$2.70110165 \dots$