Giải tích Ví dụ

$\int x^{15} \sin (x^{16}) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{14} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{16}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{14}$ ở dạng ${u_{1}}^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{14} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{16}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 14} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{16}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $14$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{14}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{16}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $14$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 7}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{16}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 7}{2 (1)}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{16}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{16}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int {u_{1}}^{\frac{7}{1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{16}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$\int {u_{1}}^{7} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{16}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{16}$ ở dạng ${u_{1}}^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{7} \sin ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{16}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{7} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 16}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $16$ .

$\int {u_{1}}^{7} \sin ({u_{1}}^{\frac{16}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\int {u_{1}}^{7} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 8}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int {u_{1}}^{7} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {u_{1}}^{7} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int {u_{1}}^{7} \sin ({u_{1}}^{\frac{8}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2.4.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$\int {u_{1}}^{7} \sin ({u_{1}}^{8}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{1}}^{7}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{7}}{2} \sin ({u_{1}}^{8}) d u_{1}$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{{u_{1}}^{7}}{2}$ và $\sin ({u_{1}}^{8})$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{7} \sin ({u_{1}}^{8})}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{7} \sin ({u_{1}}^{8}) d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {\sqrt{u_{2}}}^{6} \sin ({\sqrt{u_{2}}}^{8}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại ${\sqrt{u_{2}}}^{6}$ ở dạng ${u_{2}}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{2}}$ ở dạng ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{6} \sin ({\sqrt{u_{2}}}^{8}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} \sin ({\sqrt{u_{2}}}^{8}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{6}{2}} \sin ({\sqrt{u_{2}}}^{8}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} \sin ({\sqrt{u_{2}}}^{8}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} \sin ({\sqrt{u_{2}}}^{8}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} \sin ({\sqrt{u_{2}}}^{8}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{3}{1}} \sin ({\sqrt{u_{2}}}^{8}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.1.4.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} \sin ({\sqrt{u_{2}}}^{8}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2

Viết lại ${\sqrt{u_{2}}}^{8}$ ở dạng ${u_{2}}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{2}}$ ở dạng ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} \sin ({({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{8}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} \sin ({u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $8$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} \sin ({u_{2}}^{\frac{8}{2}}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} \sin ({u_{2}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} \sin ({u_{2}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} \sin ({u_{2}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} \sin ({u_{2}}^{\frac{4}{1}}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2.4.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} \sin ({u_{2}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} \sin ({u_{2}}^{4}) d u_{2}$

Bước 5.4

Kết hợp $\frac{{u_{2}}^{3}}{2}$ và $\sin ({u_{2}}^{4})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{3} \sin ({u_{2}}^{4})}{2} d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} \sin ({u_{2}}^{4}) d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int {u_{2}}^{3} \sin ({u_{2}}^{4}) d u_{2}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{3} \sin ({u_{2}}^{4}) d u_{2}$

Bước 8

Giả sử $u_{3} = {u_{2}}^{4}$ . Sau đó $d u_{3} = 4 {u_{2}}^{3} d u_{2}$ , nên $\frac{1}{4} d u_{3} = {u_{2}}^{3} d u_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{3} = {u_{2}}^{4}$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}]$

Bước 8.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 {u_{2}}^{3}$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\frac{1}{4} \int \sin (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

Bước 9

Kết hợp $\sin (u_{3})$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\sin (u_{3})}{4} d u_{3}$

Bước 10

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \sin (u_{3}) d u_{3})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \int \sin (u_{3}) d u_{3}$

Bước 11.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{1}{16} \int \sin (u_{3}) d u_{3}$

Bước 12

Tích phân của $\sin (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $- \cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{16} (- \cos (u_{3}) + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

$\frac{1}{16} (- \cos (u_{3})) + C$

Bước 13.2

Kết hợp $\frac{1}{16}$ và $\cos (u_{3})$ .

$- \frac{\cos (u_{3})}{16} + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với ${u_{2}}^{4}$ .

$- \frac{\cos ({u_{2}}^{4})}{16} + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với ${u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{\cos ({({u_{1}}^{2})}^{4})}{16} + C$

Bước 14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$- \frac{\cos ({({(x^{2})}^{2})}^{4})}{16} + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2})}^{2})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\cos ({(x^{2})}^{2 \cdot 4})}{16} + C$

Bước 15.1.1.2

Nhân $2$ với $4$ .

$- \frac{\cos ({(x^{2})}^{8})}{16} + C$

Bước 15.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\cos (x^{2 \cdot 8})}{16} + C$

Bước 15.1.2.2

Nhân $2$ với $8$ .

$- \frac{\cos (x^{16})}{16} + C$

Bước 15.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{16} \cos (x^{16}) + C$