Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x}{{(\frac{3}{2} y - x)}^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{3}{2} y - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{3}{2} y - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{3}{2} y - x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y - x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{2} y - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $\frac{3}{2} y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{3}{2} y$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 1.1.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- (- u + \frac{3 y}{2})}{u^{2}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}} d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\int - (\frac{2}{2} \cdot \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}) d u$

Bước 2.3

Kết hợp.

$\int - \frac{2 (- u + \frac{3 y}{2})}{2 u^{2}} d u$

Bước 2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Bước 2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\int - \frac{2 (- u) + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Bước 2.6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\int - \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- 2 u + 3 y}{u^{2}} d u)$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{- 2} d u$

Bước 6

Khai triển $(- 2 u + 3 y) u^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u \cdot u^{- 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Bước 6.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 (u^{1} u^{- 2}) + 3 y u^{- 2} d u$

Bước 6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{1 - 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Bước 6.4

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{- 1} + 3 y u^{- 2} d u$

Bước 6.5

Sắp xếp lại $- 2 u^{- 1}$ và $3 y u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} \int 3 y u^{- 2} - 2 u^{- 1} d u$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \frac{1}{2} (\int 3 y u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Bước 8

Vì $3 y$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3 y$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} (3 y \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Bước 10

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 1} d u)$

Bước 11

Tích phân của $u^{- 1}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 (\ln (| u |) + C))$

Bước 12

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{u} - 2 \ln (| u |)) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{3}{2} y - x$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{\frac{3}{2} y - x} - 2 \ln (| \frac{3}{2} y - x |)) + C$