Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x - e^{3 \arctan (x)}}{1 + x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = \arctan (x)$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , nên $- d u_{1} = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = \arctan (x)$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 1.1.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \tan (u_{1}) - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Bước 3

Tích phân của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C + \int - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = 3 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 3 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{3} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = 3 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $3 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 u_{1}]$

Bước 5.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $3 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $3 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 6

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Bước 7

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 8

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Bước 10

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Bước 10.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 u_{1}$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{3 u_{1}} + C$

Bước 10.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{3 \arctan (x)} + C$