Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{t} (t^{4} + t - 4) d t$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t^{4} + t - 4$ và $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{4} + t - 4) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (4 t^{3} + 1) d t$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (4 t^{3} + 1) d t$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (4 t^{3} + 1) d t$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (4 t^{3}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Bước 3.2

Sắp xếp lại $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ và $4$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Bước 3.3

Sắp xếp lại $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ và $1$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.4

Kết hợp $4$ và $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t^{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.5

Nhân $4$ với $2$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ và $t^{3}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2}} t^{3}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + 3}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.8

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.9

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3 + 3 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Nhân $3$ với $2$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3 + 6}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.11.2

Cộng $3$ và $6$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.12

Nhân $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ với $1$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Bước 5

Vì $\frac{8}{3}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{8}{3}$ ra khỏi tích phân.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \int t^{\frac{9}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{9}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{11} t^{\frac{11}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2}{11} t^{\frac{11}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Bước 7

Kết hợp $\frac{2}{11}$ và $t^{\frac{11}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Bước 8

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{3}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Bước 10.2

Rút gọn.

$\frac{t^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t^{\frac{11}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 10.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 10.3.3

Nhân $\frac{8}{3}$ với $\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 (2 t^{\frac{11}{2}})}{3 \cdot 11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 10.3.4

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{3 \cdot 11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 10.3.5

Nhân $3$ với $11$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 10.3.6

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Bước 10.3.7

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

Bước 10.3.8

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Bước 10.3.9

Để viết $- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 10.3.10

Kết hợp $- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 10.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 10.3.12

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}} - 3 (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{11}{2}} - 3 (\frac{16}{33} t^{\frac{11}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$