Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{t} (t^{2} + t - 1) d t$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t^{2} + t - 1$ và $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{2} + t - 1) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 1) d t$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 1) d t$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t + 1) d t$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Bước 3.2

Sắp xếp lại $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ và $2$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Bước 3.3

Sắp xếp lại $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ và $1$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.5

Nhân $2$ với $2$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ và $t$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}} t}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.7

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (t^{\frac{3}{2}} t^{1})}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + 1}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.9

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.11

Cộng $3$ và $2$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 3.12

Nhân $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ với $1$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Bước 5

Vì $\frac{4}{3}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{4}{3}$ ra khỏi tích phân.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{5}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Bước 7

Kết hợp $\frac{2}{7}$ và $t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Bước 8

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{3}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Bước 10.2

Rút gọn.

$\frac{t^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 10.3.2

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 10.3.3

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 10.3.4

Nhân $3$ với $7$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 10.3.5

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Bước 10.3.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

Bước 10.3.7

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Bước 10.3.8

Để viết $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 10.3.9

Kết hợp $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 10.3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 10.3.11

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8}{21} t^{\frac{7}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$