Giải tích Ví dụ

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

Bước 1

Tách phân số $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ thành hai phân số.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Bước 3

Giả sử $u = - 1 - v^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 v d v$ , nên $- \frac{1}{2} d u = v d v$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = - 1 - v^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d v}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $- 1 - v^{2}$ .

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 1 - v^{2}$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Bước 3.1.2.2

Vì $- 1$ là hằng số đối với $v$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $v$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $v$ , nên đạo hàm của $- v^{2}$ đối với $v$ là $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 v)$

Bước 3.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 v$

Bước 3.1.4

Trừ $2 v$ khỏi $0$ .

$- 2 v$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Bước 4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Bước 7

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Bước 8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 - v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

Bước 8.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 \cdot 1$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

Bước 8.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

Bước 8.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $- 1 (1 + v^{2})$ ở dạng $- (1 + v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

Bước 9.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $v$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Bước 11

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

Bước 12

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ đối với $v$ là $\arctan (v) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

Bước 13

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 1 - v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$