Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{3 - 3 y^{2}} d y$

Bước 1

Giả sử $y = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d y = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{3^{1} - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.1.1.5

Tính số mũ.

$\int \sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\int \sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))} \cos (t) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))} \cos (t) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sqrt{3 \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.1.6

Sắp xếp lại $3$ và $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3} \cos (t) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\int \cos (t) \sqrt{3} \cos (t) d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{3} d t$

Bước 2.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{3} d t$

Bước 2.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{3} d t$

Bước 2.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{3} d t$

Bước 3

Vì $\sqrt{3}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\sqrt{3}$ ra khỏi tích phân.

$\sqrt{3} \int \cos^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\sqrt{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\sqrt{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 9.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 10

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 12

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (y))) + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 \arcsin (y))$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin (y) + \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2}) + C$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \arcsin (y) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2} + C$

Bước 15.3

Kết hợp $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\arcsin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3} \arcsin (y)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2} + C$

Bước 15.4

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $\frac{\sin (2 \arcsin (y))}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \arcsin (y)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (2 \arcsin (y))}{2 \cdot 2} + C$

Bước 15.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{3} \arcsin (y)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (2 \arcsin (y))}{4} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \arcsin (y) + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin (2 \arcsin (y)) + C$