Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{4 - 5 x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ dương.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2.6.5

Tính số mũ.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.3

Kết hợp $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ và $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{5})}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{5}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{{(2 \sqrt{5} \sin (t))}^{2}}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{5} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.4.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{5}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 {\sqrt{5}}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.5.2

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.5.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.5.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.5.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{1} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.5.2.5

Tính số mũ.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5 \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.5.3

Nhân $4$ với $5$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.6

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{20 \sin^{2} (t)}{25}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.7.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 5$ .

$\int \sqrt{4 + 5 (- 1) \frac{20 \sin^{2} (t)}{25}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.7.2

Đưa $5$ ra ngoài $25$ .

$\int \sqrt{4 + 5 \cdot - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5 \cdot 5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{4 + 5 \cdot - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5 \cdot 5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.7.4

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.8

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.8.1

Đưa $5$ ra ngoài $20 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.8.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5 (1)}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5 \cdot 1}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{4 \sin^{2} (t)}{1}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.8.2.4

Chia $4 \sin^{2} (t)$ cho $1$ .

$\int \sqrt{4 - 1 (4 \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.9

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sqrt{4 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $4 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int 2 \cos (t) \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ và $2$ .

$\int \frac{2 \sqrt{5} \cos (t) \cdot 2}{5} \cos (t) d t$

Bước 2.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos (t)}{5} \cos (t) d t$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\frac{4 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ và $\cos (t)$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos (t) \cos (t)}{5} d t$

Bước 2.2.4

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} (\cos^{1} (t) \cos (t))}{5} d t$

Bước 2.2.5

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{5} d t$

Bước 2.2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{4 \sqrt{5} {\cos (t)}^{1 + 1}}{5} d t$

Bước 2.2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos^{2} (t)}{5} d t$

Bước 3

Vì $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} \int \cos^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{10} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{10} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{2 (5)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 9.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 10

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 12

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))) + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2}) + C$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Bước 15.3

Kết hợp $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ và $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Bước 15.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 (\sqrt{5})}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Bước 15.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Bước 15.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})) + C$

Bước 15.5

Kết hợp $\frac{\sqrt{5}}{5}$ và $\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{\sqrt{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{5} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5}}{2} x) + \frac{\sqrt{5}}{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5}}{2} x)) + C$