Giải tích Ví dụ

$\int x^{3} e^{5 x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{3}$ và $d v = e^{5 x}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$x^{3} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{5} \cdot 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5} \cdot 3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 3 \int e^{5 x} (x^{2}) d x)$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $3$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} \int e^{5 x} (x^{2}) d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Bước 6.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x)$

Bước 6.4

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x)$

Bước 6.5

Kết hợp $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ và $x$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x)$

Bước 7

Vì $\frac{2}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x))$

Bước 8

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Bước 9.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Bước 9.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x))$

Bước 10

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)))$

Bước 11

Giả sử $u = 5 x$ . Sau đó $d u = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u = 5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 11.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u))$

Bước 12

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u))$

Bước 13

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u))$

Bước 14.2

Nhân $5$ với $5$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u))$

Bước 15

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Viết lại $\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$ ở dạng $\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$

Bước 16.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Để viết $- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot \frac{5}{5} + C$

Bước 16.2.2

Kết hợp $- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + \frac{- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot 5}{5} + C$

Bước 16.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{3} e^{5 x} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot 5}{5} + C$

Bước 16.2.4

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 5 (\frac{3}{5}) (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Bước 16.2.5

Kết hợp $- 5$ và $\frac{3}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 5 \cdot 3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Bước 16.2.6

Nhân $- 5$ với $3$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 15}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Bước 16.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 15$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.7.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 15$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Bước 16.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.7.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5 (1)} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Bước 16.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 1} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Bước 16.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 3}{1} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Bước 16.2.7.2.4

Chia $- 3$ cho $1$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Bước 17

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{5 x}}{125})}{5} + C$

Bước 18

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{5} (x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{25} x e^{5 x} + \frac{2}{125} e^{5 x})) + C$