Giải tích Ví dụ

$\int x^{3} + \sin (22 x) + \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{3} d x + \int \sin (22 x) d x + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \sin (22 x) d x + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = 22 x$ . Sau đó $d u_{1} = 22 d x$ , nên $\frac{1}{22} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = 22 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $22 x$ .

$\frac{d}{d x} [22 x]$

Bước 3.1.2

Vì $22$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $22 x$ đối với $x$ là $22 \frac{d}{d x} [x]$ .

$22 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$22 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $22$ với $1$ .

$22$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \sin (u_{1}) \frac{1}{22} d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Bước 4

Kết hợp $\sin (u_{1})$ và $\frac{1}{22}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \frac{\sin (u_{1})}{22} d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{22}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{22}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Bước 6

Tích phân của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int {(x + 1)}^{3} d x$

Bước 8

Giả sử $u_{2} = x + 1$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{2} = x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 8.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 8.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 8.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{3}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}) + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{u_{2}}^{4}}{4} + C$

Bước 10.2.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{{u_{2}}^{4}}{4}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{4 \cdot 4} + C$

Bước 10.2.3

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{16} + C$

Bước 11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $22 x$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (22 x)}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{16} + C$

Bước 11.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 1$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (22 x)}{22} + \frac{{(x + 1)}^{4}}{16} + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{22} \cos (22 x) + \frac{1}{16} {(x + 1)}^{4} + C$