Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) + \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 2

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 3

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 3.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Bước 3.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{1}^{0} - u d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{1}^{0} u d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0})$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $- \cos (x)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Bước 7.2

Tính $\frac{u^{2}}{2}$ tại $0$ và tại $1$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.3.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1^{2}}{2})$

Bước 7.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1}{2})$

Bước 7.3.4

Trừ $\frac{1}{2}$ khỏi $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - - \frac{1}{2}$

Bước 7.3.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + 1 (\frac{1}{2})$

Bước 7.3.6

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- 0 + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Bước 8.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Bước 8.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 + 1 + \frac{1}{2}$

Bước 8.4

Cộng $0$ và $1$ .

$1 + \frac{1}{2}$

Bước 8.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 8.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 + 1}{2}$

Bước 8.7

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{3}{2}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3}{2}$

Dạng thập phân:

$1.5$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{1}{2}$