Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 5 \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Bước 2.2

Viết lại ${\sec (x)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (x)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \tan (x)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Bước 4.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Bước 4.5

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Bước 5

Nhân $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $u^{5}$ với $1$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Bước 6.2

Nhân $u^{5}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Bước 6.2.2

Cộng $5$ và $2$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$5 (\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$5 (\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $u^{6}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{7}$ đối với $u$ là $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ và $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $u^{8}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $\frac{u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8}$ tại $\sqrt{3}$ và tại $0$ .

$5 ((\frac{{\sqrt{3}}^{6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8}) - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{6}$ ở dạng $3^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$5 (\frac{3^{\frac{6}{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{3^{\frac{3}{1}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.1.4.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$5 (\frac{3^{3}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$5 (\frac{27}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$5 (\frac{3 (9)}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.4

Viết lại ${\sqrt{3}}^{8}$ ở dạng $3^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $8$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{8}{2}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{4}{1}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.4.4.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{4}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.6

Để viết $\frac{9}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.7.1

Nhân $\frac{9}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.7.2

Nhân $2$ với $4$ .

$5 (\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 (\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.9.1

Nhân $9$ với $4$ .

$5 (\frac{36 + 81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.9.2

Cộng $36$ và $81$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.11.1

Đưa $6$ ra ngoài $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 (0)}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.11.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0^{8}}{8}))$

Bước 12.2.12

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0}{8}))$

Bước 12.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.13.1

Đưa $8$ ra ngoài $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 (0)}{8}))$

Bước 12.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.13.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $8$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}))$

Bước 12.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}))$

Bước 12.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0}{1}))$

Bước 12.2.13.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + 0))$

Bước 12.2.14

Cộng $0$ và $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - 0)$

Bước 12.2.15

Nhân $- 1$ với $0$ .

$5 (\frac{117}{8} + 0)$

Bước 12.2.16

Cộng $\frac{117}{8}$ và $0$ .

$5 (\frac{117}{8})$

Bước 12.2.17

Kết hợp $5$ và $\frac{117}{8}$ .

$\frac{5 \cdot 117}{8}$

Bước 12.2.18

Nhân $5$ với $117$ .

$\frac{585}{8}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{585}{8}$

Dạng thập phân:

$73.125$

Dạng hỗn số:

$73 \frac{1}{8}$