Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 1.5.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Kết hợp $\sin^{2} (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 10

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 10.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 10.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 π$

Bước 10.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Bước 10.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 11

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Bước 13

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π})$

Bước 14

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính $u_{1}$ tại $π$ và tại $0$ .

$\frac{1}{4} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π})$

Bước 14.2

Tính $\sin (u_{2})$ tại $2 π$ và tại $0$ .

$\frac{1}{4} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Bước 14.3

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{1}{4} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{4} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Bước 15.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{4} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Bước 15.3

Cộng $\sin (2 π)$ và $0$ .

$\frac{1}{4} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Bước 15.4

Kết hợp $\sin (2 π)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{1}{4} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Bước 16.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{4} (π - \frac{0}{2})$

Bước 16.2

Chia $0$ cho $2$ .

$\frac{1}{4} (π - 0)$

Bước 16.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{4} (π + 0)$

Bước 16.4

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{1}{4} π$

Bước 16.5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $π$ .

$\frac{π}{4}$

Bước 17

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{4}$

Dạng thập phân:

$0.78539816 \dots$