Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (7 π x)} \cos (7 π x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \sin (7 π x)$ . Sau đó $d u_{2} = 7 π \cos (7 π x) d x$ , nên $\frac{1}{7 π} d u_{2} = \cos (7 π x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (7 π x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (7 π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (7 π x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 7 π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $7 π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 π x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 π x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $7 π x$ .

$\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $7 π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 π x$ đối với $x$ là $7 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (7 π x) (7 π \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (7 π x) (7 π \cdot 1)$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $7$ với $1$ .

$\cos (7 π x) (7 π)$

Bước 1.1.3.3.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $\cos (7 π x)$ .

$7 \cdot \cos (7 π x) π$

Bước 1.1.3.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $7 \cos (7 π x) π$ .

$7 π \cos (7 π x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = \sin (7 π x)$ .

$u_{lower} = \sin (7 π \cdot 0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $7 π \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $0$ với $7$ .

$u_{lower} = \sin (0 π)$

Bước 1.3.1.2

Nhân $0$ với $π$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = \sin (7 π x)$ .

$u_{upper} = \sin (7 π \frac{π}{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $7 π \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Kết hợp $\frac{π}{2}$ và $7$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7}{2} π)$

Bước 1.5.1.2

Kết hợp $\frac{π \cdot 7}{2}$ và $π$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7 π}{2})$

Bước 1.5.1.3

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π)}{2})$

Bước 1.5.1.4

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π^{1})}{2})$

Bước 1.5.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{1 + 1}}{2})$

Bước 1.5.1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})$

Bước 1.5.2

Tính $\sin (\frac{7 π^{2}}{2})$ .

$u_{upper} = 0.01390333$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0.01390333$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}$

Bước 2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{7 π}$ .

$\int_{0}^{0.01390333} \frac{e^{u_{2}}}{7 π} d u_{2}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{7 π}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7 π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7 π} \int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{7 π} e^{u_{2}}]_{0}^{0.01390333}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $e^{u_{2}}$ tại $0.01390333$ và tại $0$ .

$\frac{1}{7 π} ((e^{0.01390333}) - e^{0})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{7 π} \cdot (e^{0.01390333} - 1)$

Dạng thập phân:

$0.00063663 \dots$