Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Sau đó $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $6 - \cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 - \cos (2 t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Bước 2.1.2.2

Vì $6$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $6$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \cos (2 t)$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \cos (t)$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 t$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

Bước 2.1.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

Bước 2.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 t$ .

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

Bước 2.1.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 2.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Bước 2.1.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Bước 2.1.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

Bước 2.1.3.7

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 t)$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $2 \sin (2 t)$ .

$2 \sin (2 t)$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

Bước 2.3.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

Bước 2.3.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1$

Bước 2.3.2

Trừ $1$ khỏi $6$ .

$u_{lower} = 5$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Bước 2.5.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

Bước 2.5.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

Bước 2.5.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

Bước 2.5.1.4

Nhân $- (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{upper} = 6 - - 1$

Bước 2.5.1.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Bước 2.5.2

Cộng $6$ và $1$ .

$u_{upper} = 7$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 5.3

Nhân $\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ với $1$ .

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

Bước 7

Tính $\ln (| u_{2} |)$ tại $7$ và tại $5$ .

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

Bước 8

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $7$ là $7$ .

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

Bước 9.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $5$ là $5$ .

$\ln (\frac{7}{5})$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (\frac{7}{5})$

Dạng thập phân:

$0.33647223 \dots$