Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 18 \tan (3 x) d x$

Bước 1

Vì $18$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $18$ ra khỏi tích phân.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{12}} \tan (3 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{12}$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (4)}$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 4}$

Bước 2.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Kết hợp $\tan (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan (u)}{3} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$18 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6}{1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Bước 5.2.2.4

Chia $6$ cho $1$ .

$6 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Bước 6

Tích phân của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\ln (| \sec (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sec (u) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Bước 7

Tính $\ln (| \sec (u) |)$ tại $\frac{π}{4}$ và tại $0$ .

$6 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))$

Bước 8.2

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))$

Bước 8.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.2.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.2.6.5

Tính số mũ.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$6 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})$

Bước 9.1.4

$\sqrt{2}$ xấp xỉ $1.41421356$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})$

Bước 9.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})$

Bước 9.3

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$6 \ln (\sqrt{2})$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$6 \ln (\sqrt{2})$

Dạng thập phân:

$2.07944154 \dots$