Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \sin^{3} (6 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 6 x$ . Sau đó $d u_{1} = 6 d x$ , nên $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 6 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.1.2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $6$ với $1$ .

$6$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $6$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{12}$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 (2)}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 \cdot 2}$

Bước 1.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Bước 2

Kết hợp $\sin^{3} (u_{1})$ và $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (u_{1})}{6} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Đưa $\sin^{2} (u_{1})$ ra ngoài.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , nên $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Bước 6.1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 6.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Bước 6.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{0} - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{6} (\int_{1}^{0} - 1 d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0})$

Bước 10

Kết hợp $- u_{2}]_{1}^{0}$ và $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{6} - u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ tại $0$ và tại $1$ .

$\frac{1}{6} ((- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 11.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 11.2.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 11.2.4

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 11.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 11.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Bước 11.2.7

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Bước 11.2.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Bước 11.2.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Bước 11.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Bước 11.2.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.11.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 3 + 1}{3})$

Bước 11.2.11.2

Cộng $- 3$ và $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 2}{3})$

Bước 11.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{6} (0 - - \frac{2}{3})$

Bước 11.2.13

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{6} (0 + 1 (\frac{2}{3}))$

Bước 11.2.14

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{2}{3})$

Bước 11.2.15

Cộng $0$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

Bước 11.2.16

Nhân $\frac{1}{6}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{6 \cdot 3}$

Bước 11.2.17

Nhân $6$ với $3$ .

$\frac{2}{18}$

Bước 11.2.18

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{18}$

Bước 11.2.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Bước 11.2.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Bước 11.2.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{9}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{9}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{1}$