Giải tích Ví dụ

$\int \frac{y}{\sqrt{5 - y}} d y$

Bước 1

Giả sử $u = 5 - y$ . Sau đó $d u = - d y$ , nên $- d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 5 - y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $5 - y$ .

$\frac{d}{d y} [5 - y]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 1.1.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $5$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 1.1.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 5)}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{- u + 5}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \int (- u + 5) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int (- u + 5) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \int (- u + 5) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \int (- u + 5) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Khai triển $(- u + 5) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.2

Đưa dấu âm ra ngoài.

$- \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.7

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$- \int - u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.8

Sắp xếp lại $- u^{\frac{1}{2}}$ và $5 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \int 5 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- (\int 5 u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 7

Vì $5$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$- (5 \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Bước 11

Rút gọn.

$- (10 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 - y$ .

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Để viết $10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 13.2

Kết hợp $10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 13.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 13.4

Nhân $3$ với $10$ .

$- \frac{30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{3} (30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}) + C$