Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} (t) d t$

Bước 3

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 8.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 8.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 8.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 8.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Bước 8.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Bước 8.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 8.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 8.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 8.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 9

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

Bước 11

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $t$ tại $\frac{π}{4}$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Bước 12.2

Tính $\sin (u)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

Bước 12.3

Cộng $\frac{π}{4}$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

Bước 13.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - 0))$

Bước 13.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 + 0))$

Bước 13.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Bước 13.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Bước 14.2

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Bước 14.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Bước 14.3

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 14.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Dạng thập phân:

$0.14269908 \dots$

Bước 16